数学真题 - 第 24 页

这是 2015 年 11 月 IB Mathematics Standard Level (SL) Paper 1 的试卷。以下是对信息的详细解读，以及针对这份试卷的备考建议。

信息解读

(1) 考试时长

1 小时 30 分钟：考生必须在规定时间内完成所有题目，因此时间管理非常重要。

(2) 计算器限制

不允许使用计算器：这是 IB 数学 Paper 1 的核心特点，考生需完全依赖手算能力和数学推理。

(3) 答题要求

Section A：直接在试卷上的指定框内作答。
Section B：在单独的答题册中作答，需填写完整的解题过程。

(4) 数值答案要求

所有数值答案需精确到 三位有效数字，除非题目另有说明。这要求考生在计算过程中保留足够的中间步骤，避免因四舍五入或计算错误失分。

(5) 公式手册

考试允许使用 Mathematics SL Formula Booklet，考生需熟悉手册中的公式，并能够快速找到所需内容。

(6) 总分

90 分：试卷的总分将按比例计入 IB 数学 SL 的最终成绩。

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试卷结构与内容

(1) 题目分布

Section A：通常包含较短的题目，考查基本概念和技巧。
Section B：通常包含较长的题目，需要多步骤推导和综合应用。

(2) 涉及的知识点

试卷覆盖 IB 数学 SL 的核心主题，包括：

代数：指数与对数、方程与不等式。
函数与方程：函数图像、性质与求解。
几何与三角函数：空间几何、三角形问题。
统计与概率：概率计算、统计分析。
微积分：导数、积分及其应用。

备考策略

(1) 提升手算能力

无计算器的限制要求考生熟练掌握以下技能：

因式分解：快速分解多项式。
分数与小数运算：准确处理分数和小数。
解方程与不等式：熟练使用代数技巧求解。
手动求导与积分：熟悉基本导数和积分公式，并能够手动计算。

(2) 熟悉公式手册

考生需熟练掌握 Mathematics SL Formula Booklet 中的内容，包括：

二次方程求根公式。
三角恒等式。
导数与积分公式。

(3) 优化解题步骤

评分标准强调完整的解题过程，因此：

每一步都需清晰展示，确保获得方法分（M 分）。
即使最终答案错误，也能通过正确的过程获得部分分数。

(4) 时间管理

总时长为 90 分钟，建议分配如下：
- Section A：约 40 分钟。
- Section B：约 50 分钟。
先完成熟悉的题目，最后攻克较难的部分。

(5) 模拟练习

下载历年 Paper 1 真题进行模拟考试，并严格控制时间。
在无计算器的情况下完成试卷，培养手算能力。

(6) 注意答案精度

所有答案需精确到三位有效数字，练习时注意：

保留足够的中间步骤，避免因四舍五入失分。
检查计算是否合理，确保答案准确。

常见题型与解题技巧

以下是 Paper 1 中常见题型及解题建议：

(1) 代数

因式分解：分解多项式并简化表达式。
指数与对数：求解指数方程和对数方程。
方程求解：手动解一元二次方程或不等式。

(2) 函数与图像

函数分析：研究函数的性质（如对称性、单调性、零点）。
绘制函数图像：手动绘制函数图像，并标注关键点（如交点、极值）。
求解方程：通过代数方法求解函数的交点或根。

(3) 几何与三角函数

空间几何：计算体积、表面积或角度。
三角函数：使用正弦、余弦或正切解决三角形问题。
三角恒等式：化简或证明三角表达式。

(4) 微积分

导数：手动求导，并应用于切线方程、最大值和最小值问题。
积分：手动计算定积分或不定积分，并应用于面积问题。

模拟考试与评分标准的使用

(1) 自我评分

完成一套 Paper 1 真题后，使用评分标准检查答案：

标注哪些步骤得分，哪些步骤失分。
分析失分原因，例如公式使用错误、步骤不完整或答案精度不足。

(2) 针对失分点进行练习

评分标准会明确指出哪些步骤可以获得部分分数，考生可以通过分析失分原因进行针对性练习。例如：

如果因式分解步骤错误但公式正确，可以练习更多类似题目。
如果最终答案错误但过程正确，可以加强计算精度。

(3) 学习高分答案的书写方式

评分标准中的答案通常是高分答案的范例，考生可以学习：

如何书写清晰的解题步骤。
如何标注关键点（如图表中的交点或极值）。
如何合理使用公式并展示推导过程。

总结与建议

2015 年 11 月 IB Mathematics SL Paper 1 是无计算器考试，强调学生的数学基础和手算能力。以下是备考的关键点：

熟练掌握代数与手算技巧：尤其是因式分解、方程求解和函数分析。
优化解题步骤：确保每一步都清晰且符合评分标准。
熟悉公式手册：充分利用公式手册中的资源。
模拟练习与自我评分：使用评分标准检查答案并改进解题过程。

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评分标准 (Markscheme) 的作用

IB 数学评分标准为每道题提供了详细的评分规则，帮助考生了解如何获得分数以及失分的原因。评分标准的核心内容包括：

分数分配：每道题的总分及各步骤的分数分配。
评分类型：
- M 分 (Method marks)：方法分，考查考生是否正确使用了解题方法。
- A 分 (Accuracy marks)：准确性分，考查最终答案的正确性。
- R 分 (Reasoning marks)：推理分，考查逻辑推导或解释。
- G 分 (Graph marks)：图形分，考查图表的绘制和标注。
允许的解法：评分标准可能列出多种解题方法，考生可选择适合自己的方法。
常见错误：指出某些错误是否可以获得部分分数。

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如何利用评分标准提升备考效率

(1) 熟悉评分规则

理解评分标准中 M 分 和 A 分 的分布：
- M 分：即使最终答案错误，只要方法正确，仍然可以获得部分分数。
- A 分：需要准确计算才能获得，强调解题过程的细致性。
在练习时，确保每一步都清晰展示，以便在考试中获得最大化的 M 分。

(2) 研究高分答案的书写方式

学习评分标准中的高分答案，尤其是解题步骤的逻辑性和清晰性。
注意数学表达的规范性，例如：
- 方程求解的步骤是否完整。
- 图像标注是否清晰。

(3) 分析失分点

对照评分标准，检查自己的答案：
- 哪些步骤得分，哪些步骤失分。
- 是否因为跳步、计算错误或答案精度不符而失分。
针对失分点进行专项练习，例如：
- 如果因跳步失分，可以加强书写完整解题过程的训练。
- 如果因答案精度失分，可以注意保留更多中间步骤并提高计算准确性。

(4) 掌握多种解题方法

评分标准通常列出多种解法，考生可以选择最适合自己的方法。
在备考中，尝试不同解法以提高灵活性。例如：
- 解方程时，可以尝试代数方法和图像方法。
- 求导和积分时，可以尝试直接计算和分步计算。

(5) 注意常见错误

评分标准会指出考生常犯的错误，例如：
- 忽略单位或答案精度。
- 图像未标注关键点。
- 跳过中间步骤。
在备考中，避免犯这些低级错误，以确保获得更多分数。

评分标准的具体使用方法

以下是利用评分标准进行备考的具体步骤：

(1) 模拟考试

按照考试时间限制完成一套完整的 Paper 1 真题。
在无计算器的条件下，练习手算能力。

(2) 对照评分标准自我评分

使用评分标准逐步检查自己的答案：
- 是否使用了正确的方法（M 分）。
- 最终答案是否正确（A 分）。
- 是否展示了完整的推导过程（R 分）。
标注每道题的得分和失分点。

(3) 针对性练习

根据评分标准和自己的失分点，进行专项练习。例如：
- 如果因未展示推导过程失分，可以练习书写完整的解题步骤。
- 如果因计算错误失分，可以加强手算能力。
- 如果因跳过单位或精度失分，可以专注于答案的规范性。

(4) 学习多种解法

对照评分标准中列出的多种解法，尝试不同的解题方法。
找出最适合自己的方法，并在考试中灵活应用。

评分标准中的常见问题与注意事项

(1) 答案精度

所有数值答案需精确到 三位有效数字，除非题目另有说明。
在计算过程中，保留足够的中间步骤，避免因四舍五入导致答案错误。

(2) 解题步骤

即使能直接写出答案，也建议展示完整的解题步骤，以确保获得 M 分 和 R 分。
跳步可能导致无法获得方法分。

(3) 图像标注

如果题目涉及函数图像，需手动绘制图像，并标注关键点（如交点、极值）。
图像的准确性和标注的完整性决定了 G 分 的得分。

(4) 单位与符号

注意答案的单位是否正确，例如面积、体积等问题。
使用正确的数学符号，例如 $x^{2}$ 、 $ln (x)$ 等。

总结与建议

评分标准是备考的宝贵资源，考生可以通过研究评分标准，了解考试的评分逻辑和得分策略。以下是备考的关键点：

熟悉评分规则：了解如何通过方法分、准确性分和推理分获得高分。
优化解题步骤：展示完整的解题过程，确保获得最大化的分数。
分析失分点并针对性练习：通过评分标准发现自己的弱点，并进行专项训练。
学习高分答案的书写方式：提高数学表达的规范性和逻辑性。

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