数学真题 - 第 3 页

这是 2020 年 11 月 IB Mathematics Standard Level Paper 2 的评分标准（Markscheme），评分标准是帮助考生理解试卷评分规则的重要文件，以下是对评分标准的结构、使用方法以及备考策略的详细分析。

评分标准的结构

IB 的数学评分标准通常包括以下部分：

(1) 总体评分说明

分数分配：每道题的总分及分数分配细则。
步骤分数 (Method Marks, M)：针对解题过程中的关键步骤给分。
正确分数 (Accuracy Marks, A)：针对最终答案的正确性给分。
独立分数 (Independent Marks, N)：针对无需前面步骤支持的答案直接给分。

(2) 每道题的评分细则

评分标准会逐一列出每道题的评分规则，包括：
- 解题步骤的要求。
- 关键计算、公式或推导过程。
- 最终答案的准确性。

(3) 允许的误差范围

对于数值答案，评分标准会明确允许的误差范围（如精确到 3 位有效数字）。
对于图形题，会规定关键点的标注要求（如交点、极值等）。

(4) 特殊情况处理

如果考生的解题过程出现错误但仍能正确完成后续步骤，评分标准通常会给予部分分。
对于计算器使用的结果，评分标准会明确是否需要展示计算器输入。

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如何使用评分标准备考

(1) 理解得分点

评分标准明确了每道题的得分点，考生可以通过研究评分规则了解如何展示解题过程以获得最高分。
例如：
- 如果题目要求计算导数并求极值，评分标准可能会分配如下：
  - 导数计算正确：1分 (M)。
  - 找到临界点：1分 (A)。
  - 判断极值：1分 (A)。

(2) 分析典型错误

评分标准会列出常见错误及其对应的扣分规则。例如：
- 如果计算结果精度不符合要求，可能会扣除 Accuracy Marks。
- 如果缺少关键步骤，可能会扣除 Method Marks。

(3) 学习解题过程的书写规范

IB 强调解题过程的逻辑性和清晰性，评分标准会明确哪些步骤必须展示。
即使使用计算器完成计算，也需要写明所使用的公式和关键输入。

(4) 对照评分标准自评

在完成模拟试题后，可以使用评分标准对自己的答案进行评分：
- 是否展示了所有关键步骤？
- 是否满足精度要求？
- 是否遗漏了任何得分点？

常见题型评分规则分析

以下是 IB Mathematics SL Paper 2 中一些常见题型的评分规则：

(1) 函数与图像分析

得分点：
- 正确绘制图像并标注关键点（如交点、极值）。
- 使用计算器验证图像的正确性。
- 解出交点或临界值并展示计算过程。
注意事项：
- 如果图像不准确但关键点标注正确，仍可获得部分分。
- 需明确写出图像的定义域和范围。

(2) 微积分应用

得分点：
- 正确计算导数或积分。
- 找到临界点并判断极值。
- 应用微积分解决实际问题（如面积或优化问题）。
注意事项：
- 需展示导数或积分的公式及计算过程。
- 如果使用计算器完成积分，需写明关键输入。

(3) 概率与统计

得分点：
- 正确计算概率或统计量（如均值、方差）。
- 使用公式手册中的公式并展示计算过程。
- 对结果进行合理解释。
注意事项：
- 需明确展示公式和关键步骤。
- 如果结果使用计算器计算，需写明计算器的输入。

(4) 数列与级数

得分点：
- 正确应用数列公式（如求和公式）。
- 找到通项公式或递归关系。
- 应用数列解决实际问题。
注意事项：
- 必须写明公式及关键计算步骤。
- 需保证答案精确到 3 位有效数字。

如何提高得分

(1) 展示完整步骤

IB 强调解题过程的逻辑性，即使答案正确，如果缺少关键步骤也可能丢分。
在使用计算器时，需写明计算器的输入和关键公式。

(2) 符合精度要求

数值答案需精确到 3 位有效数字，除非题目另有规定。
如果答案是小数，需确保四舍五入正确。

(3) 使用公式手册

在考试中，公式手册是重要的工具。熟悉其中的公式并正确应用可以避免因记忆错误而丢分。

(4) 标注关键点

对于图形题，需标注所有关键点（如交点、极值、渐近线）。
即使图像绘制有误，关键点的正确标注仍可获得部分分。

模拟评分练习

考生可以使用评分标准对模拟试题进行评分，以下是建议的步骤：

(1) 完成试题

严格按照考试时间完成模拟试题，并记录解题过程。

(2) 对照评分标准

使用评分标准逐题检查答案：
- 是否展示了所有关键步骤？
- 是否满足精度要求？
- 是否遗漏了任何得分点？

(3) 记录失分原因

分析失分原因并进行针对性改进：
- 如果丢分是因为步骤不完整，可以加强解题过程的书写。
- 如果丢分是因为计算错误，可以多练习计算器操作。

(4) 改进解题技巧

根据评分标准调整解题策略，确保在考试中能够最大化得分。

IB Mathematics SL Paper 2 的评分标准是考生备考的重要工具，通过研究评分规则，考生可以：

理解每道题的得分点。
学习解题过程的书写规范。
分析常见错误并改进解题技巧。
对照评分标准自评模拟试题，提升考试表现。

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试卷概览

(1) 考试时间与分值

考试时间：1小时30分钟。
总分：90分。

(2) 允许使用计算器

Paper 2 是 IB 数学考试中允许使用 图形计算器 (Graphic Display Calculator) 的部分，因此考查重点从手算能力转向综合应用能力。
考生需要熟练掌握图形计算器的使用，包括解方程、绘制图像、计算积分等。

(3) 分为两部分

Section A：直接计算题，通常是单步骤或较简单的应用题。
Section B：综合性问题，涉及多步骤推导、图形分析和实际应用。

(4) 答题要求

答案书写：所有答案必须写在指定的答题区域内。
精度要求：所有数值答案需精确到 3 位有效数字，除非题目另有规定。
公式手册：考试时会提供 IB 数学公式手册，考生可以参考其中的公式。

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试卷内容分布

Paper 2 的内容范围涵盖 SL 数学课程的核心主题，重点考查学生的计算器使用能力和综合应用能力。以下是主要考查的知识点：

(1) 函数与代数

解方程和不等式（包括线性、二次、指数与对数方程）。
函数的性质（如定义域、值域、单调性）。
函数的图像与变换。
应用函数进行建模。

(2) 数与代数

数列与级数（算术数列、几何数列）。
二项式定理的应用。
分数与比例问题。

(3) 微积分

导数的基本规则与应用（如切线方程、单调性、极值问题）。
定积分的计算与应用（如面积问题）。
应用微积分进行优化问题。

(4) 几何与三角函数

三角函数的性质与图像。
使用三角恒等式解决问题。
平面几何与三角形面积计算。

(5) 概率与统计

基本概率计算。
离散随机变量的期望值与方差。
数据分析与统计量计算。

解题策略

(1) 时间管理

总时间：90分钟。
- Section A：建议用 40分钟完成，确保有足够时间处理 Section B 的综合性问题。
- Section B：用 50分钟，仔细分析每道题的多步骤要求。
每道题目都尝试作答，即使不能完整解答，也要展示部分步骤以争取部分分。

(2) 熟练使用计算器

考试允许使用图形计算器，考生需熟练掌握以下功能：
- 解方程（线性、二次、指数等）。
- 绘制函数图像并分析关键特征（如交点、极值）。
- 计算积分和导数。
- 进行统计分析（如计算平均值、方差）。

(3) 展示完整解题过程

即使使用计算器，也需展示关键步骤。例如：
- 写明所使用的公式。
- 标注计算器的输入和输出结果。

(4) 使用公式手册

熟悉公式手册中的内容，快速定位常用公式。
例如：数列求和公式、导数和积分的基本规则、三角恒等式等。

(5) 检查答案

如果时间允许，检查答案是否符合题目要求：
- 计算是否正确。
- 单位是否正确。
- 是否满足题目中的条件（如值域、定义域）。

常见问题与应对策略

问题 1：如何应对复杂的计算器操作？

熟练掌握计算器的主要功能，尤其是：
- 解方程和不等式。
- 绘制图像并分析关键点（如交点、极值）。
- 计算积分和导数。
在备考时多练习计算器操作，确保考试时能够快速完成。

问题 2：如何应对多步骤问题？

标记关键步骤：在答题册中明确每一步的目标，确保不遗漏重要步骤。
合理分配时间：优先完成较简单的步骤，再处理复杂部分。

问题 3：如何避免丢分？

书写清晰：确保每一步的计算和推导清晰易读。
检查单位和精度：注意答案是否符合题目要求的精度或单位。
展示逻辑过程：即使无法完全解答，也要写出相关步骤或公式以争取部分分。

问题 4：如何应对图形题？

使用计算器绘图：确保图形清晰，标注关键点（如顶点、交点）。
标注关键点：即使图形绘制有误，也要标注关键点以争取部分分。

备考建议

(1) 熟练使用计算器

确保熟练掌握计算器的主要功能：
- 解方程、绘制图像、计算积分和导数。
- 进行统计分析。
在备考时多练习计算器操作，确保考试时能够快速完成。

(2) 系统复习知识点

根据大纲逐一复习每个主题，确保基础概念扎实。
针对薄弱环节（如概率或微积分），进行专项练习。

(3) 模拟考试

使用历年 Paper 2 试题进行模拟考试，严格按照考试时间完成。
模拟考试后对照评分标准进行自评，找出失分原因并改进。

(4) 学习评分标准

下载历年 Paper 2 的评分标准，了解每类题目的得分点。
通过评分标准明确如何展示解题过程以获得满分。

(5) 强化公式记忆

熟记常用公式（如导数规则、积分公式、三角恒等式等），确保考试时能够快速应用。
在练习中有意识地使用公式手册，熟悉其内容和结构。

2020 年 11 月 IB Mathematics: Standard Level Paper 2 是一份允许使用图形计算器的试卷，重点考查学生的计算器使用能力和综合应用能力。备考时，考生应重点关注以下几点：

熟练掌握计算器功能：通过练习确保能够快速完成复杂计算。
系统复习核心知识点：代数、函数、微积分、几何与概率。
掌握答题技巧：展示完整解题过程，确保答案符合精度要求。
模拟真实考试：通过历年试题练习，提升时间管理能力。

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