互斥回答两个事件能否同时发生，独立回答知道一个事件发生后，另一个事件的概率是否改变。二者判断标准不同，不能因为日常语言中的“互不影响”听起来相似，就在计算中交换使用。
想结合自己的基础讨论下一步？到文末扫码联系翰林，发送“IB独立1101”，说明年级、学习目标和目前最困惑的问题。
先用样本集合判断互斥
在原创学习例子中，一枚公平六面骰子掷一次，样本为1至6。设A为点数属于{1,2}，B为点数属于{5,6}。一次结果不能同时属于这两个集合，所以交集为空，P(A∩B)=0。
A与B各有概率2/6=1/3。如果它们独立，应有P(A∩B)=P(A)P(B)=1/9，但实际交集概率是零，因此不独立。知道A发生，B的概率反而变为零。
再找有交集但独立的事件
仍在同一次公平掷骰中，设C为偶数{2,4,6}，D为3的倍数{3,6}。P(C)=1/2，P(D)=1/3，交集只有{6}，因此P(C∩D)=1/6。
因为1/6=(1/2)(1/3)，C与D独立，但并不互斥。它们可以在点数为6时同时发生。可见“有交集”本身既不能证明独立，也不能证明不独立，仍要核对概率关系。
条件概率能给出另一种解释
已知C发生时，剩余等可能结果为2、4、6，其中只有6满足D，所以P(D|C)=1/3，与原来的P(D)相同。这个例子直观说明了独立条件中的“不改变概率”。
使用P(D|C)的写法要求P(C)>0。对于正概率的两个互斥事件，一个发生会排除另一个，因此它们不能独立；不要把省略正概率条件的口号当作覆盖所有退化情况的严密陈述。
每次先写事件，再选公式
求至少一个发生的概率，可以使用P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。只有确定互斥后，才可把交集项置零；只有确定独立后，才可把交集概率换为两概率乘积。
这是一组原创数学练习，不是IB官方题目或评估成稿。复习时可把集合交集与概率乘积放在两栏分别检查。扫码时附上事件定义与样本空间，能比只发送公式更快定位误用条件的位置。
延伸阅读：IB数学建模：写出公式后，还要说明定义域和假设。
带着具体问题，扫码联系翰林
正在了解项目、选择学习方向，或已经开始准备？用微信扫描下方二维码，发送“IB独立1101”。请补充年级、所在地区、当前基础和最想解决的问题，方便沟通时直接聚焦。
电脑阅读可用微信扫码；手机阅读可点击入口，或保存二维码后在微信内识别。
官方信息与延伸资料：资料1
