数学真题 - 第 10 页

这是 2019 年 IB Mathematics Standard Level (SL) Paper 1 的评分标准 (Markscheme) ，评分标准是学生备考 IB 数学的重要资源，因为它详细说明了每道题目的得分点和评分细则。以下是对评分标准的内容和使用方法的详细分析，以及如何将其应用于备考。

评分标准的作用

(1) 明确得分点

评分标准详细列出了每道题目中每步解题的得分点，包括：

方法分（M 分）：展示正确的解题方法或步骤。
准确分（A 分）：给出正确答案或完成计算。
解题分（G 分）：在几何或图形题中正确绘制图形或标注关键点。

(2) 部分分的分配

IB 数学评分标准采用 部分分（Partial Credit） 制，即使答案不完整，只要展示了正确的解题步骤或逻辑，就可以获得部分分。这对学生来说是一个重要的得分策略。

(3) 指导答题结构

通过评分标准，学生可以学习如何组织答案，以确保最大化得分。例如：

展示每一步的推导过程。
使用清晰的数学符号和表达。

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评分标准的内容结构

评分标准通常包括以下内容：

(1) 每道题的评分细则

列出每个步骤的得分点。
说明哪些答案是必须的，以及哪些步骤可以获得部分分。

(2) 常见错误的处理

评分标准通常会列出考生可能犯的错误，并说明是否可以获得部分分。例如：
- 如果计算错误但方法正确，是否可以获得 M 分。
- 如果图形绘制错误但标注正确，是否可以获得 G 分。

(3) 特殊说明

对于某些题目，评分标准可能会提供额外的说明，例如：
- 如果有多种解法，列出所有可接受的解法。
- 对于需要近似的答案，说明允许的误差范围。

如何使用评分标准备考

(1) 熟悉评分细则

下载并仔细阅读评分标准，了解每道题目的得分点分布。
学习如何展示解题步骤以获得最大分数。
- 例如：在代数题中，明确写出公式的来源和每一步的计算过程。

(2) 分析失分原因

使用历年试题进行练习后，与评分标准对照，分析自己的答案：
- 哪些步骤遗漏了得分点？
- 是否有计算错误或表达不清的问题？
针对失分点进行改进，避免在正式考试中重复同样的错误。

(3) 学习部分分策略

如果无法完整解答某些题目，确保展示正确的解题方法或部分步骤。例如：
- 在微积分题中，如果无法完成积分计算，至少写出积分公式并尝试分步计算。
- 在几何题中，如果无法完全绘制图形，至少标注关键点。

(4) 优化答题结构

根据评分标准的要求，优化自己的答题结构：
- 书写清晰，确保每一步都易于理解。
- 使用正确的数学符号和术语。

评分标准中的常见问题与应对策略

问题 1：如何展示完整的解题过程？

书写步骤分明：每一步都清晰标注，例如公式的来源、代入的值等。
避免跳步：即使某些计算看似简单，也要写出完整步骤。
标注关键点：在几何或图形题中，确保标注所有关键点（如顶点、交点）。

问题 2：如何处理计算错误？

如果计算错误但方法正确，通常可以获得方法分（M 分）。因此：
- 确保展示正确的公式和解题步骤。
- 如果发现计算错误，及时标注并尝试修正。

问题 3：如何应对图形题？

绘制清晰图形：确保图形正确且标注清晰。
标注关键点：即使图形绘制有误，也要标注关键点以争取部分分。

问题 4：如何应对多种解法的题目？

如果评分标准允许多种解法，确保选择自己最熟悉的解法。
在练习中尝试不同解法，确保考试时能够灵活应对。

备考策略总结

(1) 下载评分标准

获取历年 IB Mathematics SL Paper 1 的评分标准，重点分析：
- 每道题目的得分点分布。
- 常见错误的处理方式。

(2) 模拟考试

使用历年试题进行限时模拟考试，完成后对照评分标准进行自评。
分析失分原因，找出薄弱环节并进行针对性练习。

(3) 强化解题步骤

在练习中养成展示完整解题过程的习惯，确保每一步都符合评分标准的要求。
使用清晰的数学符号和表达，避免模糊或跳步。

(4) 练习手算技巧

无计算器的考试要求考生具备熟练的手算能力，重点练习：
- 分数运算。
- 指数与对数的简化。
- 微积分的基本计算。

(5) 学习部分分策略

如果无法完整解答某些题目，确保展示正确的解题方法或部分步骤以争取部分分。

评分标准是备考 IB 数学的关键资源，通过学习评分标准，考生可以：

了解得分点分布，明确如何展示解题过程以获得最大分数。
分析失分原因，针对薄弱环节进行改进。
优化答题结构，确保答案清晰易读并符合评分要求。
掌握部分分策略，在无法完整解答时仍能争取分数。

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试卷概览

(1) 时间与分值

考试时间：1 小时 30 分钟。
总分：90 分。

(2) 试卷特点

无计算器：Paper 1 是 IB 数学考试中不允许使用计算器的部分，考查学生对数学概念的理解和手算能力。
分为两部分：
- Section A：通常是较为直接的问题，考查基本概念和计算能力。
- Section B：通常是较为复杂的问题，需要进行多步骤推理和综合应用。

(3) 其他要求

答案格式：
- 所有答案必须写在提供的答题册中。
- 数值答案需要精确到 3 位有效数字，除非题目另有规定。
公式手册：考试时会提供 IB 数学公式手册，考生可以参考其中的公式。

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试卷内容分布

根据 IB 数学 SL 的大纲，Paper 1 的内容通常覆盖以下几个主要主题：

(1) 代数与函数

线性方程组和不等式。
函数的性质（如定义域、值域、对称性、单调性）。
指数函数和对数函数。
二次函数的顶点形式和根的性质。
函数的复合与反函数。

(2) 数与代数

数列与级数（算术数列、几何数列）。
二项式定理。
复数（模、共轭、复平面表示）。

(3) 微积分

导数的定义与基本规则。
函数的极值与单调性分析。
曲线的切线与法线方程。
不定积分与定积分的基本计算。
面积计算。

(4) 几何与三角函数

三角函数的图像与性质。
三角恒等式（如正弦定理、余弦定理）。
平面几何中的角度关系与面积计算。

(5) 概率与统计

事件的概率计算。
离散随机变量的期望值与方差。

解题策略

(1) 时间管理

总时间：90 分钟。
- Section A：建议用 40-45 分钟完成，确保有充足时间处理 Section B 的复杂问题。
- Section B：用 45-50 分钟，仔细分析每道题的多步骤要求。
每道题目都尝试作答，即使不能完整解答，也要展示部分步骤以争取部分分。

(2) 阅读题目

仔细阅读题目，确保理解每个部分的要求。
注意题目中的关键词，如 “hence” 或 “show that”，这些词提示你需要使用特定的方法或步骤。

(3) 展示完整解题过程

IB 数学的评分标准强调 步骤分，即使最终答案错误，展示正确的解题步骤仍然可以获得部分分。
写明每一步的推理和计算过程，避免直接写出答案。

(4) 使用公式手册

熟悉公式手册中的内容，快速定位常用公式。
例如：数列求和公式、导数和积分的基本规则、三角恒等式等。

(5) 精确计算

所有数值答案需要精确到 3 位有效数字，除非题目另有规定。
避免不必要的近似，尽量在最后一步才进行四舍五入。

(6) 检查答案

如果时间允许，检查答案是否符合题目要求：
- 计算是否正确。
- 单位是否正确。
- 是否满足题目中的条件（如值域、定义域）。

常见问题与应对策略

问题 1：无计算器情况下如何提高计算效率？

练习手算技能：熟悉分数运算、平方根、指数和对数的基本运算。
使用近似技巧：在必要时，使用合理的近似值进行估算。
分步计算：将复杂计算分解为简单步骤，降低出错率。

问题 2：如何应对多步骤问题？

分解问题：将复杂问题拆解为多个小问题，逐步解决。
标记关键步骤：在草稿中明确每一步的目标，确保不遗漏重要步骤。
使用图表或图形：对于几何或函数问题，绘制图形有助于理解题目。

问题 3：如何避免丢分？

书写清晰：确保每一步的计算和推导清晰易读。
检查单位和精度：注意答案是否符合题目要求的精度或单位。
展示逻辑过程：即使无法完全解答，也要写出相关步骤或公式以争取部分分。

备考建议

(1) 熟悉公式手册

重点复习公式手册中的常用公式，如：
- 二项式展开公式。
- 导数和积分的基本规则。
- 三角函数的恒等式。
在练习中多次使用公式手册，确保考试时能快速定位所需公式。

(2) 系统复习知识点

根据大纲逐一复习每个主题，确保基础概念扎实。
针对薄弱环节（如微积分或概率），进行专项练习。

(3) 模拟考试

使用历年 Paper 1 试题进行模拟考试，严格按照考试时间完成。
模拟考试后对照评分标准进行自评，找出失分原因并改进。

(4) 强化手算能力

每天练习无计算器的计算题，重点包括：
- 分数运算。
- 指数与对数的简化。
- 三角函数值的计算（如 $sin 3 0^{\circ}, cos 4 5^{\circ}$ 等）。

(5) 学习评分标准

下载历年 Paper 1 的评分标准，了解每类题目的得分点。
通过评分标准明确如何展示解题过程以获得满分。

2019 年 IB Mathematics SL Paper 1 是一份无计算器的试卷，考查学生对数学概念的理解和手算能力。备考时，考生应重点关注以下几点：

熟悉核心知识点：代数、函数、微积分、几何与概率。
强化手算能力：练习无计算器的计算技巧。
掌握答题技巧：分步回答，展示完整解题过程。
模拟真实考试：通过历年试题练习，提升时间管理能力。

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