数学真题 - 第 15 页

这是 2017 年 11 月 IB Mathematics Standard Level (SL) Paper 2 的试卷，以下是对内容的详细解读，以及针对 Paper 2 的备考策略和答题技巧。

信息解读

(1) 考试时间

Tuesday 14 November 2017 (morning)：考试日期为 2017 年 11 月 14 日上午。
1 hour 30 minutes：考试时长为 90 分钟，与试卷总分 90 分 一致，平均每分钟对应 1 分。

(2) 计算器使用

A graphic display calculator is required for this paper.
- Paper 2 允许使用图形计算器，重点考查考生对复杂数学问题的解决能力以及计算器的熟练使用。
- 考生需熟悉如何使用计算器进行：
  - 求解方程。
  - 绘制函数图像。
  - 计算积分与导数。
  - 分析统计数据。

(3) 答题要求

Section A 和 Section B：
- Section A：答案需直接写在试卷提供的答题框内，通常为较短的题目，考查基础概念和计算能力。
- Section B：答案需写在单独的答题册中，通常为综合性题目，要求详细推导和解释。
- 考生需确保答题册与试卷正确装订，避免遗漏。
Numerical answers：
- 除非题目另有要求，所有数值答案需保留 三位有效数字 或以精确形式（如分数或根式）表示。
- 答案的精度和格式是评分的重要依据。
Formula booklet：
- 考试允许使用 Mathematics SL Formula Booklet，考生需熟悉公式内容和使用方法，以节省查找时间。

(4) 试卷总分

Maximum mark: 90 marks：试卷总分为 90 分，需要覆盖所有题目，避免因未作答而失分。

(5) 试卷页数

15 pages：试卷共有 15 页，考生需确保所有题目都已答完，避免遗漏。

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Paper 2 的特点分析

(1) 图形计算器的使用

Paper 2 允许使用图形计算器，重点考查考生解决复杂问题的能力。以下是常见题型：

函数与方程：
- 使用计算器求解复杂方程（如非线性方程）。
- 绘制函数图像并分析图像特性（如交点、极值、渐近线）。
几何与三角函数：
- 使用计算器计算三角函数值。
- 分析几何图形的面积、体积等。
微积分：
- 使用计算器求导数与积分。
- 应用积分计算面积或解决运动问题。
概率与统计：
- 使用计算器进行统计分析（如均值、标准差、回归分析）。
- 绘制统计图表（如散点图、箱形图）。

(2) 答案精度与格式

数值答案：需保留三位有效数字，除非题目另有说明。
精确答案：如果题目要求以分数或根式形式表示答案，应尽可能保持精确。
单位：如果题目涉及单位（如长度、面积、体积等），需确保答案中正确标注单位。

(3) 解题步骤的展示

完整过程：虽然允许使用计算器，但仍需展示解题步骤。
逻辑清晰：确保每一步计算都清晰合理，避免跳步。

(4) 时间管理

平均每分钟对应 1 分，考生需合理分配时间，确保所有题目都能作答。
Section A：通常为较短的题目，建议控制在 40 分钟内完成。
Section B：通常为较长的综合题，建议分配约 50 分钟。

备考策略

(1) 熟练使用图形计算器

基本功能：
- 求解方程与分析函数图像。
- 计算导数与积分。
- 进行统计分析（如均值、标准差、线性回归）。
特殊功能：
- 绘制图像并分析特性（如交点、极值）。
- 使用计算器验证手算结果。
练习使用：
- 在练习中熟悉计算器的按键和功能，确保考试时能够快速操作。

(2) 熟悉公式手册

快速查找：熟悉公式手册的内容和结构，确保考试时能快速定位所需公式。
理解公式：不仅要记住公式，还需理解其推导和适用范围。例如：
- 几何公式（如面积、体积公式）。
- 微积分公式（如导数与积分的基本规则）。

(3) 强化解题步骤

展示完整过程：即使使用计算器，也需展示解题步骤，避免失分。
解释关键步骤：特别是在推导复杂问题时，需简要说明逻辑。
检查计算：计算器虽然减少了计算错误，但仍需验证结果。

(4) 针对性练习

根据试卷内容，重点复习以下主题：

代数：
- 解方程与不等式（线性、二次、指数、对数）。
- 数列与级数（如等差数列、等比数列的求和公式）。
函数与方程：
- 函数的图像与性质（如单调性、极值、根的求解）。
- 使用计算器分析函数特性。
几何与三角函数：
- 三角恒等式（如 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ）。
- 解直角三角形和一般三角形。
- 几何问题（如面积、体积计算）。
微积分：
- 导数的计算与应用（如切线方程、优化问题）。
- 积分的计算与应用（如面积计算）。
概率与统计：
- 基本概率计算。
- 数据分析与总结（如平均数、中位数、标准差）。

(5) 模拟考试

下载历年真题：完成允许使用计算器的模拟考试，熟悉计算器的使用方法。
对照评分标准：检查自己的答案是否符合评分要求，并总结失分原因。
练习时间分配：在模拟考试中练习合理分配时间，确保每道题都有足够时间作答。

答题技巧

(1) 优先处理熟悉的题目

先完成自己擅长的题目，确保拿到尽可能多的分数。
遇到较难的题目，可以先跳过，待其他题目完成后再回头解决。

(2) 注意答案格式

所有数值答案需保留三位有效数字，除非题目另有要求。
确保答案的单位正确（如长度、面积、体积等）。

(3) 合理使用计算器

使用计算器验证手算结果，确保答案正确。
在分析函数图像时，需明确标注关键点（如交点、极值）。

(4) 检查答案

完成试卷后，留出 5-10 分钟检查答案，特别是计算精度和单位。
确保每道题都展示了解题步骤。

总结与建议

2017 年 11 月 IB Mathematics SL Paper 2 是一份允许使用图形计算器的考试，以下是备考的关键点：

熟练使用图形计算器：掌握计算器的基本功能和特殊功能，确保能够快速解决复杂问题。
熟悉公式手册：能够快速找到并正确应用公式。
优化解题步骤：即使使用计算器，也需展示完整的解题过程。
合理分配时间：根据题目分值分配时间，优先完成简单题目。
结合评分标准进行模拟考试：通过模拟考试发现弱点，并根据评分标准改进。

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评分标准的作用

IB 数学评分标准是评估考生答案的官方依据，明确了以下内容：

每道题的分值分配：
- 每个步骤对应的得分。
- 如何分配方法分（M）、答案分（A）和正当性分（R）。
得分要求：
- 哪些关键步骤必须展示。
- 哪些错误会导致失分。
答案的形式：
- 精确答案与数值答案的要求（如三位有效数字）。
- 答案的单位要求。
容错性：
- 哪些小错误不会导致完全失分（如小数点误差或单位遗漏）。

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IB 数学评分标准的结构

IB 数学评分标准通常包括以下部分：

题目分解：
- 每道题分为若干部分，明确每部分的得分点。
分数类型：
- M 分（Method Marks，方法分）：
  - 展示正确的解题方法即可得分，即使最终答案有误。
  - 例如：正确列出方程或公式。
- A 分（Answer Marks，答案分）：
  - 正确计算出答案后得分。
  - 如果方法错误，即使答案正确也无法得分。
- R 分（Reasoning Marks，推理分）：
  - 展示清晰的逻辑推导，或解释关键步骤。
  - 例如：写出公式的来源或推导过程。
特殊说明：
- 包括对答案形式的要求（如分数、根式、三位有效数字）。
- 明确哪些步骤可以省略，哪些步骤必须写出。
示例答案：
- 提供标准答案和可能的变式答案。

如何利用评分标准优化答题策略

(1) 展示完整的解题步骤

确保得 M 分：即使最终答案错误，也能通过正确的解题方法获得部分分数。
- 例如：在解方程时，先写出方程的标准形式，即使计算有误，也能得方法分。
避免跳步：IB 强调逻辑推导，如果跳过关键步骤，可能会丢失 R 分或 M 分。
- 例如：在微积分题中，需明确写出积分的上下限、积分公式等。

(2) 确保答案的格式和精度

数值答案：
- 除非题目另有要求，所有数值答案需保留三位有效数字。
- 例如：答案 $3.14159$ 应写为 $3.142$ 。
精确答案：
- 如果题目要求精确答案，需以分数或根式形式表示。
- 例如： $2$ 不能写为 $1.414$ 。
单位：
- 确保答案中包含正确的单位（如长度、面积、体积等）。
- 例如：面积答案需写成 $12 cm^{2}$ ，而不是单纯的 $12$ 。

(3) 避免常见失分点

计算错误：
- 在无计算器考试中，计算错误是最常见的失分原因。建议：
  - 检查每一步计算。
  - 使用合理的估算方法验证答案。
格式错误：
- 答案未保留三位有效数字。
- 未按照题目要求给出答案的形式（如分数或根式形式）。
遗漏步骤：
- 未展示公式的来源或推导过程。
- 跳过关键步骤，导致失去方法分或推理分。

(4) 熟悉评分标准中的关键词

Exact（精确）：答案需以分数或根式形式表示。
Numerical（数值）：答案需保留三位有效数字。
Show all working（展示所有步骤）：需清晰展示解题过程，不能只写答案。
State the reason（说明理由）：需解释关键步骤的逻辑或公式来源。

针对 Paper 1 的备考建议

(1) 强化手算能力

代数运算：
- 熟练掌握因式分解、分数运算、根式运算等基本技巧。
- 练习展开与简化复杂表达式（如 $(x + 3)^{2} - (x - 2)^{2}$ ）。
函数分析：
- 手算函数的交点与零点。
- 熟悉反函数与复合函数的计算。
几何与三角函数：
- 手算面积与体积（如三角形面积公式 $2 1 ab sin C$ ）。
- 利用三角恒等式简化表达式。
微积分：
- 手算导数与积分。
- 应用导数解决优化问题。
- 应用积分计算面积。
概率与统计：
- 练习基本概率计算。
- 手算均值与方差。

(2) 熟悉评分标准的逻辑

方法分（M 分）：
- 熟悉常见题型的解题步骤，确保获得方法分。
- 例如：在解二次方程时，需先写出标准形式 $a x^{2} + b x + c = 0$ 。
答案分（A 分）：
- 检查计算结果是否符合题目要求（如三位有效数字或精确形式）。
推理分（R 分）：
- 在综合题中，需解释公式的来源或推导过程。

(3) 模拟考试与评分标准结合

对照评分标准：
- 完成模拟考试后，使用评分标准检查自己的答案。
- 分析失分原因，并针对性改进。
练习时间分配：
- 在模拟考试中练习合理分配时间，确保每道题都有足够时间作答。

总结与建议

2017 年 11 月 IB Mathematics SL Paper 1 的评分标准 提供了清晰的得分规则和要求。以下是备考的关键点：

熟悉评分标准：
- 理解 M 分、A 分和 R 分的分配逻辑。
- 熟悉答案的格式要求（如三位有效数字、精确形式）。
优化解题步骤：
- 展示完整的解题过程，确保每一步都清晰合理。
- 避免跳步或遗漏关键步骤。
强化手算能力：
- 练习代数运算、函数分析、几何计算、微积分推导等手算技巧。
结合评分标准进行模拟考试：
- 使用评分标准检查自己的答案，发现弱点并改进。
- 在模拟考试中练习时间分配，确保每道题都有足够时间作答。

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