数学真题 - 第 20 页

这是 2016 年 11 月 IB Mathematics Standard Level (SL) Paper 1 的评分标准（Markscheme），以下是对评分标准的重要内容和使用方法的详细解读，以及如何结合评分标准优化备考和答题策略。

信息解读

(1) 评分标准的用途

评分标准是 IB 官方提供的评分指南，用于明确每道题的得分点和评分规则。它是考生了解考试要求和评分逻辑的重要参考资料。

(2) 适用试卷

2016 年 11 月 Paper 1：这是一份 无计算器 的考试，评分标准对应的是这份试卷的答案和评分细则。

(3) 页数

评分标准总共 16 页，通常包括以下内容：
1. 每道题的评分细则（得分点、步骤要求等）。
2. 示例答案，展示高分答案的标准写法。
3. 特殊说明（如容错机制、答案精度要求等）。

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评分标准的结构

(1) 分数类型

评分标准中的得分分为以下几类：

M 分（Method Marks）：方法分，奖励考生使用正确的解题方法，即使最终答案错误，也可以获得。
A 分（Answer Marks）：答案分，只有在正确方法的基础上得出正确答案才能获得。
R 分（Reasoning Marks）：推理分，奖励对逻辑推导或解释的准确性。
G 分（Graph Marks）：图形分，奖励对图表的准确绘制或标注。

(2) 得分规则

评分标准会详细列出每道题的得分点，例如：

使用正确的公式或方法：M 分。
正确计算或推导：A 分。
绘制图形时标注关键点：G 分。

(3) 示例答案

评分标准通常提供示例答案，展示高分答案的书写方式和解题步骤。

(4) 容错机制

评分标准会说明哪些错误可以接受，哪些错误会导致失分。例如：

精度问题：答案需保留三位有效数字，除非题目另有说明。
单位问题：缺少单位可能导致失分。
逻辑错误：如果中间步骤存在逻辑错误，可能无法获得后续分数。

如何利用评分标准备考

(1) 理解评分逻辑

评分标准明确了每道题的得分点和步骤，考生可以通过研究评分标准了解：
- 哪些步骤是得分关键：例如，使用正确的公式或方法。
- 哪些步骤可以跳过：例如，重复计算。
- 哪些错误会导致失分：例如，答案精度不足或单位缺失。

(2) 学习高分答案的书写方式

评分标准中的示例答案是高分答案的范例，考生可以学习：
- 如何组织答案，使其简洁且逻辑清晰。
- 如何合理使用公式，并展示推导过程。
- 如何绘制图表并标注关键点（如交点、极值）。

(3) 分析失分原因

通过对比评分标准和自己的答案，考生可以发现失分原因，例如：
- 方法错误：未使用正确的解题方法。
- 计算错误：中间步骤出错导致最终答案错误。
- 答案精度：未按照要求保留三位有效数字。
- 书写不完整：未展示必要的解题步骤。

(4) 模拟考试与评分标准结合

严格时间管理：按照考试时间完成模拟试卷。
对照评分标准自我评分：逐步检查自己的答案，标注得分点和失分点。
总结弱点：针对失分原因进行专项练习。

提高考试表现的技巧

(1) 展示完整的解题过程

即使知道答案，也要清晰地展示步骤，因为评分标准会奖励方法分（M 分）。

(2) 注意答案精度

所有数值答案需保留三位有效数字，除非题目另有说明。
中间步骤的计算需保留足够的精度，避免因四舍五入失分。

(3) 使用正确的单位

如果题目涉及单位（如面积、体积、时间等），答案需标明正确的单位。
缺少单位可能导致失分。

(4) 合理分配时间

根据题目分值分配时间，确保每道题都有时间作答。
优先完成熟悉的题目，最后攻克较难的部分。

(5) 检查答案

完成试卷后，留出 5-10 分钟检查答案，特别是计算精度和单位。
确保每道题都展示了解题步骤。

评分标准的实际应用

以下是一个假设的评分标准示例，展示如何根据评分标准分配分数：

题目：解方程 $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 。

评分标准：

M1：正确使用二次方程求根公式。
A1：正确计算判别式 $b^{2} - 4 a c$ 。
A1：正确得出两个根 $x = 2$ 和 $x = - 2 1$ 。

考生答案分析：

如果考生正确写出公式但判别式计算错误，可以得到 M1。
如果考生判别式计算正确但根计算错误，可以得到 M1A1。
如果考生所有步骤都正确，可以得到满分 M1A1A1。

总结与建议

评分标准是备考 IB 数学的重要工具，以下是一些实用建议：

熟悉评分逻辑：了解如何通过展示过程获得部分分数。
注重解题步骤：确保每一步都清晰完整，避免跳步。
学习高分答案：从评分标准中学习高分答案的书写方式。
分析失分原因：通过评分标准发现自己的弱点，并进行针对性改进。
模拟考试：严格按照评分标准自我评估，并改进解题技巧。

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信息解读

(1) 考试时间

1 小时 30 分钟：考试时间为 90 分钟，总分为 90 分，意味着每分钟约对应 1 分。
时间管理非常重要，考生需根据题目分值合理分配时间，避免在某些题目上花费过多时间。

(2) 禁用计算器

Paper 1 禁止使用计算器：这意味着考生必须依靠手算和逻辑推导解决所有问题。
考生需要熟练掌握基本运算（如分数、指数、对数）、代数技巧（如因式分解、化简表达式）以及数学推导能力。

(3) 答题要求

Section A：直接在试卷的指定框内作答，通常是较短的题目。
Section B：在单独的答题册中书写答案，通常是需要更详细过程的题目。
在 Section B 中，必须清晰展示每一步解题过程，确保方法分（M 分）不丢失。

(4) 答案精度

所有数值答案需精确到 三位有效数字，除非题目另有说明。
如果答案是分数形式，通常需要化简为最简分数。
考生需特别注意手算过程中避免四舍五入误差，确保答案精确。

(5) 使用公式手册

考试允许使用 Mathematics SL Formula Booklet，其中包含常用公式（如二次方程求根公式、三角恒等式、导数和积分公式等）。
熟悉公式手册的内容和结构，能够快速找到所需公式，是节省时间的关键。

(6) 总分

试卷总分为 90 分，考生应尽量覆盖所有题目，争取获得尽可能多的分数。

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试卷结构与内容

(1) Section A

通常包含较短的题目，考查基础知识和技能。
题目类型可能包括：
- 简单的代数运算（如解方程、指数与对数）。
- 三角函数的计算与化简。
- 基本几何问题。
- 基本概率或统计问题。

(2) Section B

通常包含较长的题目，需要多步骤推导和综合应用多个知识点。
题目类型可能包括：
- 函数的详细分析（如求导、极值）。
- 微积分的应用（如计算面积或解决运动问题）。
- 综合性问题（如结合几何和代数解题）。
- 逻辑推理题目，需要清晰展示推导过程。

(3) 涉及的主要知识点

试卷覆盖 IB 数学 SL 的核心主题，包括：

代数：指数与对数、方程与不等式、数列与级数。
函数与方程：函数的性质、图像、求解方程。
几何与三角函数：空间几何、三角恒等式、解三角形问题。
统计与概率：概率计算、统计数据分析。
微积分：导数、积分及其应用。

备考策略

(1) 强化手算能力

由于 Paper 1 禁用计算器，考生需要特别加强以下手算能力：

基本运算：快速准确地进行分数、根式、指数和对数的计算。
代数技巧：熟练掌握因式分解、化简表达式、解方程（包括二次方程和指数方程）。
三角函数：熟悉常见角度（如 $3 0^{\circ}$ 、 $4 5^{\circ}$ 、 $6 0^{\circ}$ ）的三角函数值，并能快速化简三角表达式。
微积分：能够手算导数和积分，特别是常见函数（如多项式、指数函数、三角函数）的导数和积分。

(2) 熟悉公式手册

快速查找公式：在备考时熟悉公式手册的内容和布局，确保考试时能够快速找到所需公式。
理解公式的应用：不仅要记住公式，还需要理解其适用范围和推导过程。

(3) 强化解题步骤

评分标准强调完整的解题过程，考生在备考时应注意：

每一步都需清晰展示，确保获得方法分（M 分）。
即使最终答案错误，也能通过正确的过程获得部分分数。
书写规范，避免使用模糊的符号或表达。

(4) 时间管理

分值与时间分配：根据题目分值合理分配时间。例如：
- Section A：约 40 分钟。
- Section B：约 50 分钟。
优先完成熟悉的题目：先解决自己擅长的题目，最后攻克较难的部分。
留出检查时间：完成试卷后，留出 5-10 分钟检查答案，特别是计算精度和单位。

(5) 模拟考试

下载历年 Paper 1 真题，在禁用计算器的情况下完成模拟考试。
严格控制时间，并对照评分标准进行自我评分，找出失分原因。

(6) 针对性练习

根据自己的弱点进行针对性练习，例如：

如果代数部分失分较多，加强因式分解、化简表达式和解方程的练习。
如果三角函数部分较弱，多练习三角恒等式的化简和三角方程的求解。

答题技巧

(1) 检查答案精度

确保所有数值答案保留三位有效数字。
如果题目要求精确答案（如分数形式），不要转换为小数。

(2) 使用正确的单位

遇到涉及单位的问题（如面积、体积、时间），需在答案中标明正确的单位。

(3) 绘图题目

如果题目要求绘制函数图像，需标注以下内容：
- 坐标轴的刻度和标签。
- 函数的关键点（如交点、极值、渐近线）。
- 函数的整体形状和范围。

(4) 合理分步解题

即使题目看似简单，也要展示必要的解题步骤。
避免直接写出答案，否则可能失去方法分。

(5) 检查计算过程

手算时容易出错，因此完成每道题后需快速检查计算过程，确保没有遗漏或错误。

总结与建议

2016 年 11 月 IB Mathematics SL Paper 1 是一份强调手算能力、解题过程和答案精度的考试。以下是备考的关键点：

强化手算能力：特别是代数、三角函数和微积分的计算技巧。
熟悉公式手册：能够快速找到并正确应用公式。
优化解题步骤：确保每一步都清晰完整，避免跳步。
合理分配时间：根据题目分值分配时间，优先完成简单题目。
模拟考试与评分标准结合：通过模拟考试发现弱点，并根据评分标准改进。

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