数学真题 - 第 18 页

这是 2017 年 5 月 IB Mathematics Standard Level (SL) Paper 1 的评分标准（Markscheme），以下是对评分标准的详细解读，以及如何利用评分标准优化备考策略。

信息解读

(1) 标题信息

May 2017：对应 2017 年 5 月的考试。
Mathematics Standard Level Paper 1：评分标准是针对数学 SL 课程的 Paper 1。

(2) 页数

18 页：评分标准详细列出了每道题的答案、得分点、评分规则以及容错说明。

(3) 评分标准的作用

评分标准是评卷员判分的官方依据，明确了：

每道题的得分点。
正确答案的形式。
部分得分的条件（例如方法正确但答案错误时如何得分）。
容错范围（例如答案的精度要求、常见错误的处理等）。

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评分标准的结构

评分标准通常包括以下内容：

(1) 每道题的答案与得分点

答案：提供每道题的标准答案。
得分点：详细列出每道题的分数分配，例如：
- 使用正确的方法：M 分（Method Marks）。
- 得出正确的中间结果：A 分（Answer Marks）。
- 展示合理的推理或解释：R 分（Reasoning Marks）。
- 绘制正确的图表：G 分（Graph Marks）。

(2) 示例答案

提供高分答案的标准写法，帮助评卷员判断考生答案是否符合要求。

(3) 特殊说明

说明如何处理常见错误，例如：
- 如果考生使用不同的方法但得出正确答案，是否可以得分。
- 如果计算器结果未保留三位有效数字，是否扣分。
- 如果考生未展示完整步骤，是否失去方法分。

(4) 容错机制

评分标准会明确哪些情况下可以给予部分分数，例如：
- 方法正确但计算错误。
- 使用了合理的近似值。

如何利用评分标准提升备考效率

(1) 理解评分逻辑

评分标准的核心是明确每道题的得分点。通过研究评分标准，考生可以了解：

哪些步骤是得分关键：例如，列出公式或展示推导过程。
哪些错误会导致失分：例如，答案精度不足或未标明单位。

(2) 学习高分答案的书写方式

评分标准中的示例答案提供了高分答案的标准写法，考生可以学习：

如何组织答案，使其简洁且逻辑清晰。
如何正确使用公式，并展示推导过程。
如何绘制图表并标注关键点。

(3) 分析常见失分原因

通过对比评分标准和自己的答案，考生可以发现失分原因，例如：

计算错误：导致最终答案错误。
步骤不完整：未展示关键解题步骤。
精度问题：答案未保留三位有效数字。
单位问题：缺少或错误的单位。

(4) 模拟考试与评分标准结合

严格时间管理：按照考试时间完成模拟试卷。
对照评分标准自我评分：逐步检查自己的答案，标注得分点和失分点。
总结弱点：针对失分原因进行专项练习。

实际应用示例

以下是一个假设的评分标准示例，展示如何根据评分标准分配分数：

题目示例

题目：求函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ 在区间 $[0, 3]$ 上的极值。

评分标准

M1：正确求导 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$ 。
A1：正确解出导数为零的解 $x = 0$ 和 $x = 2$ 。
M1：正确计算 $f (x)$ 在 $x = 0, 2, 3$ 的函数值。
A1：正确得出极值：最大值为 $f (3) = 4$ ，最小值为 $f (2) = - 4$ 。

考生答案分析

如果考生正确求导但未解出导数为零的解，可以得 M1。
如果考生解出导数为零的解但未正确计算函数值，可以得 M1A1。
如果考生所有步骤都正确，可以得满分 M1A1M1A1。

提高考试表现的技巧

(1) 展示完整的解题过程

即使知道答案，也要清晰地展示步骤，因为评分标准会奖励方法分（M 分）。

(2) 注意答案精度

所有数值答案需保留三位有效数字，除非题目另有说明。
中间步骤的计算需保留足够的精度，避免因四舍五入失分。

(3) 使用正确的单位

如果题目涉及单位（如面积、体积、时间等），答案需标明正确的单位。
缺少单位可能导致失分。

(4) 合理分配时间

根据题目分值分配时间，确保每道题都有时间作答。
优先完成熟悉的题目，最后攻克较难的部分。

(5) 检查答案

完成试卷后，留出 5-10 分钟检查答案，特别是计算精度和单位。
确保每道题都展示了解题步骤。

总结与建议

评分标准是备考 IB 数学的重要工具，以下是一些实用建议：

熟悉评分逻辑：了解如何通过展示过程获得部分分数。
注重解题步骤：确保每一步都清晰完整，避免跳步。
学习高分答案：从评分标准中学习高分答案的书写方式。
分析失分原因：通过评分标准发现自己的弱点，并进行针对性改进。
模拟考试：严格按照评分标准自我评估，并改进解题技巧。

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信息解读

(1) 考试时间

1 小时 30 分钟：考试时长为 90 分钟，总分为 90 分，平均每分钟对应 1 分。
考生需要合理分配时间，确保所有题目都能完成，同时留出时间检查答案。

(2) 不允许使用计算器

Paper 1 禁止使用任何计算器：这意味着考生需要依赖手算和数学推导解决问题。
考试重点在于：
- 数学技能的熟练程度。
- 对公式和方法的掌握。
- 手算的准确性和速度。

(3) 答题要求

Section A：直接在试卷的指定框内作答，通常是较短的题目。
Section B：在单独的答题册中书写答案，通常是需要详细步骤的题目。
注意：在 Section B 中，展示完整的解题步骤非常重要，即使答案错误，也能获得方法分（M 分）。

(4) 答案精度

所有数值答案需精确到 三位有效数字，除非题目另有说明。
手算结果需经过检查，确保符合题目要求的精度。

(5) 使用公式手册

考试允许使用 Mathematics SL Formula Booklet，其中包含常用公式（如三角恒等式、导数和积分公式等）。
熟悉公式手册的内容和结构，能够快速找到所需公式，是节省时间的关键。

(6) 总分

试卷总分为 90 分。考生应尽量覆盖所有题目，争取获得尽可能多的分数。

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试卷结构与内容

(1) Section A

通常包含较短的题目，考查基础知识和技能。
题目类型可能包括：
- 简单的代数运算（如解方程、指数与对数）。
- 函数的基本分析（如求值、判断单调性）。
- 基本几何问题（如面积、体积计算）。
- 基本概率或统计问题。

(2) Section B

通常包含较长的题目，需要多步骤推导和综合应用多个知识点。
题目类型可能包括：
- 函数的详细分析（如极值、单调性、根的求解）。
- 微积分的应用（如计算面积或解决运动问题）。
- 综合性问题（如结合几何和代数解题）。
- 统计问题（如数据分析、概率计算）。

(3) 涉及的主要知识点

试卷覆盖 IB 数学 SL 的核心主题，包括：

代数：指数与对数、方程与不等式、数列与级数。
函数与方程：函数的性质、图像、求解方程。
几何与三角函数：空间几何、三角恒等式、解三角形问题。
统计与概率：概率计算、统计数据分析。
微积分：导数、积分及其应用。

备考策略

(1) 强化手算能力

熟练掌握基本运算：包括分数运算、指数与对数计算、平方根计算等。
检查计算过程：在考试中，手算过程容易出错，需多次检查确保准确性。

(2) 熟悉公式手册

快速查找公式：在备考时熟悉公式手册的内容和布局，确保考试时能够快速找到所需公式。
理解公式的应用：不仅要记住公式，还需要理解其适用范围和推导过程。

(3) 强化解题步骤

展示完整步骤：即使答案错误，也能通过展示正确的方法获得部分分数。
列出公式：在解题时，写明所用公式或方法。
解释步骤：确保每一步都清晰合理，避免跳步。

(4) 时间管理

分值与时间分配：根据题目分值合理分配时间。例如：
- Section A：约 40 分钟。
- Section B：约 50 分钟。
优先完成熟悉的题目：先解决自己擅长的题目，最后攻克较难的部分。
留出检查时间：完成试卷后，留出 5-10 分钟检查答案，特别是计算精度和单位。

(5) 模拟考试

下载历年 Paper 1 真题，在无计算器的情况下完成模拟考试。
严格控制时间，并对照评分标准进行自我评分，找出失分原因。

(6) 针对性练习

根据自己的弱点进行针对性练习，例如：

如果代数部分较弱，多练习解方程、化简表达式。
如果函数分析部分较弱，多练习求导、极值和单调性分析。
如果几何部分较弱，多练习面积、体积和三角问题。

答题技巧

(1) 展示完整的解题过程

即使知道答案，也需展示完整的步骤，因为评分标准会奖励方法分（M 分）。
避免直接写出答案，否则可能失去部分分数。

(2) 检查答案精度

确保所有数值答案保留三位有效数字。
如果题目要求精确答案（如分数形式），不要转换为小数。

(3) 使用正确的单位

遇到涉及单位的问题（如面积、体积、时间），需在答案中标明正确的单位。

(4) 绘图题目

如果题目要求绘制函数图像，需标注以下内容：
- 坐标轴的刻度和标签。
- 函数的关键点（如交点、极值、渐近线）。
- 函数的整体形状和范围。

(5) 合理分步解题

即使题目看似简单，也要展示必要的解题步骤。
避免跳步或直接写答案。

(6) 检查计算过程

手算时，需检查每一步计算是否正确，避免因计算错误导致答案错误。

总结与建议

2017 年 5 月 IB Mathematics SL Paper 1 是一份强调手算能力、解题过程和答案精度的考试。以下是备考的关键点：

强化手算能力：熟练掌握基本运算，并确保计算准确。
熟悉公式手册：能够快速找到并正确应用公式。
优化解题步骤：确保每一步都清晰完整，避免跳步。
合理分配时间：根据题目分值分配时间，优先完成简单题目。
模拟考试与评分标准结合：通过模拟考试发现弱点，并根据评分标准改进。

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